Упр.24.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Выясните, какие из приведённых последовательностей являются монотонными. Укажите характер монотонности:
   а) $$y_n=2n-1$$;
   б) $$y_n=-5^{-n}$$;
   в) $$y_n=n^2+8$$;
   г) $$y_n=\frac{2}{3n+1}$$.

а) Рассмотрим разность соседних членов:

$$y_k=2k-1,\qquad y_{k+1}=2(k+1)-1=2k+1$$

$$y_{k+1}-y_k=(2k+1)-(2k-1)=2>0$$

Следовательно, последовательность монотонно возрастает.

б) Найдём отношение соседних членов:

$$y_k=-5^{-k},\qquad y_{k+1}=-5^{-(k+1)}$$

$$\frac{y_{k+1}}{y_k}=\frac{-5^{-(k+1)}}{-5^{-k}}=5^{-1}=\frac15<1$$

Значит, последовательность монотонно убывает.

в) Рассмотрим разность соседних членов:

$$y_k=k^2+8,\qquad y_{k+1}=(k+1)^2+8=k^2+2k+9$$

$$y_{k+1}-y_k=(k^2+2k+9)-(k^2+8)=2k+1>0$$

Следовательно, последовательность монотонно возрастает.

г) Найдём разность соседних членов:

$$y_k=\frac{2}{3k+1},\qquad y_{k+1}=\frac{2}{3(k+1)+1}=\frac{2}{3k+4}$$

$$y_{k+1}-y_k=\frac{2}{3k+4}-\frac{2}{3k+1} =\frac{2(3k+1)-2(3k+4)}{(3k+1)(3k+4)} =\frac{-6}{(3k+1)(3k+4)}<0$$

Следовательно, последовательность монотонно убывает.

Ответ

а) монотонно возрастающая; б) монотонно убывающая; в) монотонно возрастающая; г) монотонно убывающая.