Упр.24.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?
а) $$\cos 1, \cos 2, \cos 3, \ldots, \cos n, \ldots$$;
б) $$\frac{\sin 1}{1}, -\frac{\sin 2}{2}, \frac{\sin 3}{3}, \ldots, \frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n}, \ldots$$;
в) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}, \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}, \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4}, \ldots, \operatorname{tg}\frac{\pi(2n-1)}{4}, \ldots$$;
г) $$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}, \operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}, \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}, \ldots, \operatorname{ctg}\frac{\pi}{n+1}, \ldots$$.
а) $$a_n=\cos n.$$
Так как для любого $$n$$ выполняется $$-1\le \cos n\le 1,$$ то последовательность ограничена.
Ответ: ограничена.
б) $$a_n=\dfrac{(-1)^{n-1}\sin n}{n}.$$
Имеем $$-1\le \sin n\le 1,$$ а также $$0<\dfrac{1}{n}\le 1.$$ Поэтому
$$-1\le \dfrac{(-1)^{n-1}\sin n}{n}\le 1.$$
Следовательно, последовательность ограничена.
Ответ: ограничена.
в) $$a_n=\tg\frac{\pi}{4}(2n-1).$$
Преобразуем:
$$a_n=\tg\left(\frac{\pi}{2}n-\frac{\pi}{4}\right).$$
Тогда
$$a_{2k}=\tg\left(\pi k-\frac{\pi}{4}\right)=-\tg\frac{\pi}{4}=-1,$$
$$a_{2k+1}=\tg\left(\pi k+\frac{\pi}{4}\right)=\tg\frac{\pi}{4}=1.$$
Значит, все члены последовательности принимают только значения $$-1$$ и $$1,$$ поэтому она ограничена.
Ответ: ограничена.
г) $$a_n=\ctg\frac{\pi}{n+1}.$$
При $$n\to\infty$$ аргумент $$\frac{\pi}{n+1}\to 0^+,$$ а значит,
$$\ctg\frac{\pi}{n+1}\to +\infty.$$
Следовательно, последовательность не ограничена.
Ответ: не ограничена.
