Упр.24.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите первые пять членов последовательности:
а) $$y_n=\sin\frac{n\pi}{2}-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}(2n+1)$$;
б) $$y_n=\cos\frac{n\pi}{2}+\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}(2n+1)$$;
в) $$y_n=n\sin\frac{n\pi}{2}+n^2\cos\frac{n\pi}{2}$$;
г) $$y_n=\sin\frac{n\pi}{4}-n\cos\frac{n\pi}{4}$$.
а) $$y_n=\sin \frac{n\pi}{2}-\ctg \frac{\pi}{4}(2n+1)$$
Так как $$\ctg \frac{\pi}{4}=1,$$ получаем:
$$\begin{aligned} y_1&=\sin \frac{\pi}{2}-1\cdot 3=1-1=2,\\ y_2&=\sin \pi-1\cdot 5=0-1=-1,\\ y_3&=\sin \frac{3\pi}{2}-1\cdot 7=-1+1=0,\\ y_4&=\sin 2\pi-1\cdot 9=0-1=-1,\\ y_5&=\sin \frac{5\pi}{2}-1\cdot 11=1+1=2. \end{aligned}$$
Первые пять членов: $$2;\,-1;\,0;\,-1;\,2.$$
б) $$y_n=\cos \frac{n\pi}{2}+\tg \frac{\pi}{4}(2n+1)$$
Так как $$\tg \frac{\pi}{4}=1,$$ имеем:
$$\begin{aligned} y_1&=\cos \frac{\pi}{2}+1\cdot 3=0-1=-1,\\ y_2&=\cos \pi+1\cdot 5=-1+1=0,\\ y_3&=\cos \frac{3\pi}{2}+1\cdot 7=0-1=-1,\\ y_4&=\cos 2\pi+1\cdot 9=1+1=2,\\ y_5&=\cos \frac{5\pi}{2}+1\cdot 11=0-1=-1. \end{aligned}$$
Первые пять членов: $$-1;\,0;\,-1;\,2;\,-1.$$
в) $$y_n=n\sin \frac{n\pi}{2}+n^2\cos \frac{n\pi}{2}$$
$$\begin{aligned} y_1&=1\cdot \sin \frac{\pi}{2}+1^2\cdot \cos \frac{\pi}{2}=1,\\ y_2&=2\cdot \sin \pi+2^2\cdot \cos \pi=0-4=-4,\\ y_3&=3\cdot \sin \frac{3\pi}{2}+3^2\cdot \cos \frac{3\pi}{2}=-3,\\ y_4&=4\cdot \sin 2\pi+4^2\cdot \cos 2\pi=16,\\ y_5&=5\cdot \sin \frac{5\pi}{2}+5^2\cdot \cos \frac{5\pi}{2}=5. \end{aligned}$$
Первые пять членов: $$1;\,-4;\,-3;\,16;\,5.$$
г) $$y_n=\sin \frac{n\pi}{4}-n\cos \frac{n\pi}{4}$$
$$\begin{aligned} y_1&=\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=0,\\ y_2&=\sin \frac{\pi}{2}-2\cos \frac{\pi}{2}=1,\\ y_3&=\sin \frac{3\pi}{4}-3\cos \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-3\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2,\\ y_4&=\sin \pi-4\cos \pi=4,\\ y_5&=\sin \frac{5\pi}{4}-5\cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-5\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2. \end{aligned}$$
Первые пять членов: $$0;\,1;\,2\sqrt2;\,4;\,2\sqrt2.$$
Ответ: а) $$2;\,-1;\,0;\,-1;\,2$$; б) $$-1;\,0;\,-1;\,2;\,-1$$; в) $$1;\,-4;\,-3;\,16;\,5$$; г) $$0;\,1;\,2\sqrt2;\,4;\,2\sqrt2$$.
