Упр.23.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\frac{1}{2\sin 10}-2\sin 70$$; б) $$\frac{\tg 60}{\sin 40}+4\cos 100$$.

а) $$\frac{1}{2\sin 10^\circ}-2\sin 70^\circ=\frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}$$

Используем формулу произведения:

$$2\sin 70^\circ\sin 10^\circ=\cos(70^\circ-10^\circ)-\cos(70^\circ+10^\circ),$$

тогда

$$\frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=\frac{1-2(\cos 60^\circ-\cos 80^\circ)}{2\sin 10^\circ}.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12,$$ а $$\cos 80^\circ=\sin 10^\circ,$$ получаем

$$\frac{1-2\cdot \frac12+2\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=\frac{2\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ}=1.$$

Ответ: $$1$$.

б) $$\frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ}+4\cos 100^\circ=\frac{\tg 60^\circ+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ}.$$

Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ а

$$2\sin 40^\circ\cos 100^\circ=\sin(40^\circ+100^\circ)+\sin(40^\circ-100^\circ),$$

то

$$\frac{\sqrt{3}+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ}=\frac{\sqrt{3}+2\sin 140^\circ+2\sin(-60^\circ)}{\sin 40^\circ}.$$

Далее

$$\sin 140^\circ=\sin(180^\circ-40^\circ)=\sin 40^\circ,\qquad \sin(-60^\circ)=-\sin 60^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{3}+2\sin 40^\circ-\sqrt{3}}{\sin 40^\circ}=\frac{2\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ}=2.$$

Ответ: $$2$$.