Упр.23.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Вычислите: а) $$\cos^2 3+\cos^2 1-\cos 4\cdot\cos 2$$; б) $$\sin^2 10+\cos 50\cdot\cos 70$$.
$$\cos^2 3^\circ+\cos^2 1^\circ-\cos 4^\circ\cdot \cos 2^\circ$$
Используем формулы:
$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos A\cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}.$$
Тогда
$$\cos^2 3^\circ+\cos^2 1^\circ-\cos 4^\circ\cos 2^\circ =\frac{1+\cos 6^\circ}{2}+\frac{1+\cos 2^\circ}{2}-\frac{\cos 6^\circ+\cos 2^\circ}{2} =1.$$
$$\sin^2 10^\circ+\cos 50^\circ\cdot \cos 70^\circ$$
Используем формулы:
$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos A\cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}.$$
Тогда
$$\sin^2 10^\circ+\cos 50^\circ\cos 70^\circ =\frac{1-\cos 20^\circ}{2}+\frac{\cos 120^\circ+\cos 20^\circ}{2} =\frac{1+\cos 120^\circ}{2}.$$
Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12,$$ получаем
$$\frac{1+\cos 120^\circ}{2} =\frac{1-\frac12}{2} =\frac14.$$
Ответ: а) $$1$$; б) $$\frac14$$.
