Упр.23.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Преобразуйте произведение в сумму:

а) $$\sin 10 \cdot \cos 8 \cdot \cos 6$$;

б) $$4\sin 25 \cdot \cos 15 \cdot \sin 5$$.

а) Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos 8^\circ \cos 6^\circ=\frac{\cos(8^\circ-6^\circ)+\cos(8^\circ+6^\circ)}{2}=\frac{\cos 2^\circ+\cos 14^\circ}{2}.$$

Тогда

$$\sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ =\sin 10^\circ \cdot \frac{\cos 2^\circ+\cos 14^\circ}{2} =\frac{\sin 10^\circ \cos 2^\circ+\sin 10^\circ \cos 14^\circ}{2}.$$

Применим формулу $$\sin x \cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}$$:

$$\sin 10^\circ \cos 2^\circ=\frac{\sin 12^\circ+\sin 8^\circ}{2}, \qquad \sin 10^\circ \cos 14^\circ=\frac{\sin 24^\circ+\sin(-4^\circ)}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin 10^\circ \cos 8^\circ \cos 6^\circ =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin 12^\circ+\sin 8^\circ}{2}+\frac{\sin 24^\circ+\sin(-4^\circ)}{2}\right) =\frac{\sin 12^\circ+\sin 8^\circ+\sin 24^\circ-\sin 4^\circ}{4}.$$

б) Сначала преобразуем произведение $$\sin 5^\circ \cos 15^\circ$$:

$$4\sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ =4\sin 25^\circ \cdot \frac{\sin(5^\circ+15^\circ)+\sin(5^\circ-15^\circ)}{2}.$$

Тогда

$$4\sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ =2\sin 25^\circ \sin 20^\circ+2\sin 25^\circ \sin(-10^\circ) =2\sin 25^\circ \sin 20^\circ-2\sin 25^\circ \sin 10^\circ.$$

Теперь используем формулу $$\sin x \sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}$$:

$$2\sin 25^\circ \sin 20^\circ=\cos 5^\circ-\cos 45^\circ,$$

$$2\sin 25^\circ \sin 10^\circ=\cos 15^\circ-\cos 35^\circ.$$

Значит,

$$4\sin 25^\circ \cos 15^\circ \sin 5^\circ =\cos 5^\circ-\cos 45^\circ-\cos 15^\circ+\cos 35^\circ.$$

Ответ: а) $$\frac{\sin 12^\circ+\sin 8^\circ+\sin 24^\circ-\sin 4^\circ}{4}$$; б) $$\cos 5^\circ-\cos 45^\circ-\cos 15^\circ+\cos 35^\circ$$.