Упр.23.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2\sin x\cdot\cos 3x+\sin 4x=0$$
2. б) $$\sin\frac{x}{2}\cdot\sin\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}$$

а) Преобразуем левую часть по формулам приведения и сложения:

$$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=0$$

$$2\cdot \frac12\bigl(\sin(x+3x)+\sin(x-3x)\bigr)+\sin 4x=0$$

$$\sin 4x+\sin(-2x)+\sin 4x=0$$

$$2\sin 4x-\sin 2x=0$$

$$4\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0$$

$$\sin 2x\,(4\cos 2x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos 2x-1=0$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$4\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac14 \Rightarrow 2x=\pm \arccos \frac14+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac12\arccos \frac14+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}=\frac12$$

$$\frac12\left(\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right)\right)=\frac12$$

$$\cos(-x)-\cos 2x=1$$

$$\cos x-\cos 2x=1$$

$$\cos x-(2\cos^2 x-1)=1$$

$$2\cos^2 x-\cos x=0$$

$$\cos x\,(2\cos x-1)=0$$

Следовательно,

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\pm \frac12\arccos \frac14+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$