Упр.23.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение: а) $$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cdot\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-0{,}25=0$$; б) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cdot\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$$.

Подробный ответ

а) Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)+\cos\left(\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right).$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\left(\cos 2x+\cos\frac{2\pi}{3}\right)-\frac{1}{4}=0.$$

Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2},$$ получаем

$$\frac{1}{2}\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}=0,$$

$$\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{1}{2},$$

$$\cos 2x=1.$$

Следовательно,

$$2x=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

б) Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)+\sin\left(\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right).$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{2}=1,$$ получаем

$$\frac{1}{2}\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1\right)=1,$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Следовательно,

$$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},$$

$$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →