Упр.23.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos a \cdot \sin(a+b)$$; б) $$\sin(60^\circ+a)\cdot\sin(60^\circ-a)$$; в) $$\sin b\cdot\cos(a+b)$$; г) $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\cdot\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$$.

Используем формулы преобразования произведения в сумму:

1. $$\cos a\cdot \sin(a+\beta)=\frac{1}{2}\bigl(\sin((a+\beta)+a)+\sin((a+\beta)-a)\bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\sin(2a+\beta)+\sin\beta\bigr)$$

2. $$\sin(60^\circ+a)\cdot \sin(60^\circ-a)=\frac{1}{2}\bigl(\cos((60^\circ+a)-(60^\circ-a))-\cos((60^\circ+a)+(60^\circ-a))\bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\cos 2a-\cos 120^\circ\bigr)=\frac{1}{2}\cos 2a+\frac{1}{4}$$

3. $$\sin\beta\cdot \cos(a+\beta)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(\beta+(a+\beta))+\sin(\beta-(a+\beta))\bigr)$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\sin(a+2\beta)+\sin(-a)\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(a+2\beta)-\sin a\bigr)$$

4. $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\right)+\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{4}\right)-\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right)$$

   $$=\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos 2a$$

Ответ: $$\frac{1}{2}\bigl(\sin(2a+\beta)+\sin\beta\bigr),\ \frac{1}{2}\cos 2a+\frac{1}{4},\ \frac{1}{2}\bigl(\sin(a+2\beta)-\sin a\bigr),\ \frac{1}{2}\cos 2a$$