Упр.23.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$\cos^2(45-а)-\cos^2(60+а)-\cos 75\cdot\sin(75-2а)=\sin 2а.$$

Используем формулы

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$

Тогда

$$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a)=$$

$$=\frac{1+\cos(90^\circ-2a)}{2}-\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2}-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a).$$

Преобразуем косинусы:

$$=\frac{1+\sin2a}{2}-\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2}-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a).$$

Раскроем произведение по формуле синуса разности:

$$\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a)=\frac{\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)}{2}.$$

Тогда

$$\frac{1+\sin2a}{2}-\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2}-\frac{\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)}{2}.$$

Используем тождества

$$\cos(120^\circ+2a)=-\sin(30^\circ+2a), \qquad \sin(150^\circ-2a)=\sin(30^\circ+2a), \qquad \sin(-2a)=-\sin2a.$$

Получаем

$$\frac{1+\sin2a}{2}-\frac{1-\sin(30^\circ+2a)}{2}-\frac{\sin(30^\circ+2a)-\sin2a}{2} = \sin2a.$$

Следовательно,

$$\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a)=\sin2a.$$

Ответ: тождество доказано.