Упр.23.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения: а) $$\sin x \cdot \sin 3x = 0{,}5$$; б) $$\cos x \cdot \cos 3x + 0{,}5 = 0$$.

а) Используем формулу произведения синусов:

$$\sin x \sin 3x=\frac{\cos(x-3x)-\cos(x+3x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}=\frac12,$$

$$\cos 2x-\cos 4x=1.$$

Так как $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1,$$ получаем

$$\cos 2x-(2\cos^2 2x-1)=1,$$

$$2\cos^2 2x-\cos 2x=0,$$

$$\cos 2x\,(2\cos 2x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Наименьший положительный корень: $$x_{\min}^+=\frac{\pi}{6}.$$

Наибольший отрицательный корень: $$x_{\max}^-=-\frac{\pi}{6}.$$

б) Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos x \cos 3x=\frac{\cos(x-3x)+\cos(x+3x)}{2}=\frac{\cos 2x+\cos 4x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos 2x+\cos 4x}{2}+\frac12=0,$$

$$\cos 2x+\cos 4x+1=0.$$

Подставим $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$:

$$\cos 2x+2\cos^2 2x-1+1=0,$$

$$2\cos^2 2x+\cos 2x=0,$$

$$\cos 2x\,(2\cos 2x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos 2x=-\frac12 \Rightarrow 2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Наименьший положительный корень: $$x_{\min}^+=\frac{\pi}{4}.$$

Наибольший отрицательный корень: $$x_{\max}^-=-\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$x_{\min}^+=\frac{\pi}{6},\; x_{\max}^-=-\frac{\pi}{6}.$$

б) $$x_{\min}^+=\frac{\pi}{4},\; x_{\max}^-=-\frac{\pi}{4}.$$