Упр.23.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\sin 3x \cdot \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2}$$;

б) $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin^2 x=0$$;

в) $$\sin 2x \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos 2x$$;

г) $$\cos 2{,}5x \cdot \cos x = \cos 2{,}5x \cdot \cos 0{,}5x$$.

а) Используем формулы суммы в произведение:

$$\sin 3x \cdot \cos x=\frac12\bigl(\sin(3x+x)+\sin(3x-x)\bigr),$$

$$\sin \frac{5x}{2}\cdot \cos \frac{3x}{2}=\frac12\bigl(\sin(\frac{5x}{2}+\frac{3x}{2})+\sin(\frac{5x}{2}-\frac{3x}{2})\bigr).$$

Тогда

$$\frac12(\sin 4x+\sin 2x)=\frac12(\sin 4x+\sin x),$$

$$\sin 2x-\sin x=0,$$

$$2\cos \frac{2x+x}{2}\sin \frac{2x-x}{2}=0,$$

$$2\sin x\cos x-\sin x=0,$$

$$\sin x(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

Получаем

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Преобразуем левую часть:

$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) =\cos\left(\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) -\cos\left(\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right).$$

Значит,

$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) =\cos 2x-\cos \frac{\pi}{2}=\cos 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos 2x+\sin^2 x=0.$$

Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ то

$$1-2\sin^2 x+\sin^2 x=0,$$

$$1-\sin^2 x=0,$$

$$\cos^2 x=0.$$

Следовательно,

$$\cos x=0,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

в) Используем формулы суммы в произведение:

$$\sin 2x\cdot \cos x=\frac12\bigl(\sin(2x+x)+\sin(2x-x)\bigr),$$

$$\sin x\cdot \cos 2x=\frac12\bigl(\sin(x+2x)+\sin(x-2x)\bigr).$$

Тогда

$$\frac12(\sin 3x+\sin x)=\frac12(\sin 3x+\sin(-x)),$$

$$\sin x=-\sin x,$$

$$2\sin x=0.$$

Следовательно,

$$\sin x=0,$$

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

г) Преобразуем произведения в суммы:

$$\cos 2x\cdot \cos x=\frac12\bigl(\cos(2x-x)+\cos(2x+x)\bigr),$$

$$\cos 2{,}5x\cdot \cos 0{,}5x=\frac12\bigl(\cos(2{,}5x-0{,}5x)+\cos(2{,}5x+0{,}5x)\bigr).$$

Получаем

$$\frac12(\cos x+\cos 3x)=\frac12(\cos 2x+\cos 3x),$$

$$\cos x-\cos 2x=0.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$\cos x-(2\cos^2 x-1)=0,$$

$$2\cos^2 x-\cos x-1=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0,$$

$$(2y+1)(y-1)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$; в) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb Z$$; г) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ 2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$.