Упр.23.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Преобразуйте произведение в сумму: а) $$\sin 23 \cdot \sin 32$$; б) $$\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{8}$$; в) $$\sin 14 \cdot \cos 16$$; г) $$2\sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{5}$$.
Используем формулы преобразования произведения в сумму:
$$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}$$
$$\cos x\cos y=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}$$
$$\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}$$
$$\sin 23^\circ\cdot \sin 32^\circ=\frac{\cos(23^\circ-32^\circ)-\cos(23^\circ+32^\circ)}{2}=\frac{\cos 9^\circ-\cos 55^\circ}{2}$$
$$\cos\frac{\pi}{12}\cdot \cos\frac{\pi}{8}=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{8}\right)}{2}=\frac{\cos\frac{\pi}{24}+\cos\frac{5\pi}{24}}{2}$$
$$\sin 14^\circ\cdot \cos 16^\circ=\frac{\sin(14^\circ+16^\circ)+\sin(14^\circ-16^\circ)}{2}=\frac{\sin 30^\circ+\sin(-2^\circ)}{2}$$
$$=\frac{\frac12-\sin 2^\circ}{2}=\frac14-\frac12\sin 2^\circ$$
$$2\sin\frac{\pi}{8}\cdot \cos\frac{\pi}{5}=2\cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{5}\right)}{2}$$
$$=\sin\frac{13\pi}{40}+\sin\left(-\frac{3\pi}{40}\right)=\sin\frac{13\pi}{40}-\sin\frac{3\pi}{40}$$
Ответ:
а) $$\frac{\cos 9^\circ-\cos 55^\circ}{2}$$; б) $$\frac{\cos\frac{\pi}{24}+\cos\frac{5\pi}{24}}{2}$$; в) $$\frac14-\frac12\sin 2^\circ$$; г) $$\sin\frac{13\pi}{40}-\sin\frac{3\pi}{40}$$.
