Упр.22.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x+2=\frac{12}{\pi}x$$; б) $$\sqrt{2}(\cos x-\sin x)=2x-\frac{\pi}{2}$$.

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x+2=\frac{12}{\pi}x$$

Преобразуем левую часть к виду $$C\sin(x+t)$$:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2=\frac{12}{\pi}x,$$

то есть

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{6x-\pi}{\pi}.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$ и $$y=\frac{6x-\pi}{\pi}.$$ Их единственная точка пересечения соответствует значению

$$x=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{3}$$

б) $$\sqrt{2}(\cos x-\sin x)=2x-\frac{\pi}{2}$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{2}(\cos x-\sin x)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2x-\frac{\pi}{2},$$

или

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=x-\frac{\pi}{4}.$$

Так как $$-1\le \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$-1\le x-\frac{\pi}{4}\le 1,$$

откуда

$$\frac{\pi}{4}-1\le x\le \frac{\pi}{4}+1.$$

На этом промежутке графики функций $$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$ и $$y=x-\frac{\pi}{4}$$ пересекаются в точках, соответствующих значениям

$$x=0,\quad x=1.$$

Ответ: $$0;\ 1$$