Упр.22.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right);$$

б) $$\left(\sqrt{3}\sin x-\cos x\right)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

а) Представим левую часть через косинус суммы:

$$\sin x+\sqrt3\cos x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\left(2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right).$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right),$$ положим

$$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Получаем квадратное уравнение

$$4y^2-y-5=0.$$

$$D=1+80=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 9}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac54.$$

Значение $$y=\frac54$$ не подходит, так как $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\in[-1;1].$$

Остаётся

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-1.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{6}=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем разность:

$$\sqrt3\sin x-\cos x=-2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда уравнение имеет вид

$$\left(-2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Обозначим

$$t=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Получаем

$$4t^2-4t+1=0,$$

$$\left(2t-1\right)^2=0,$$

$$t=\frac12.$$

Значит,

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi n,\ -\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$