Упр.22.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$2\sin 17x+\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=0$$;
   б) $$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$$.

а) Представим сумму $$\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x$$ в виде одной синусоиды:

$$\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right),$$

так как

$$2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin 5x\cdot \frac12+\cos 5x\cdot \frac{\sqrt3}{2}\right)=\sin 5x+\sqrt3\cos 5x.$$

Тогда

$$2\sin 17x+\sqrt3\cos 5x+\sin 5x=0$$

$$2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$2\sin 17x+2\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=4\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(11x+\frac{\pi}{6}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

1) $$11x+\frac{\pi}{6}=\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11}.$$

2) $$6x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6}.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{66}+\frac{\pi n}{11},\ \frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем выражение $$5\sin x-12\cos x$$ к виду одной синусоиды:

$$5\sin x-12\cos x=13\sin(x-t),$$

где

$$13=\sqrt{5^2+12^2}, \qquad \cos t=\frac{5}{13}, \qquad \sin t=\frac{12}{13}, \qquad t=\arccos\frac{5}{13}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$13\sin(x-t)+13\sin 3x=0,$$

или

$$\sin(x-t)+\sin 3x=0.$$

По формуле суммы синусов:

$$2\sin\left(2x-\frac{t}{2}\right)\cos\left(x+\frac{t}{2}\right)=0.$$

Следовательно,

$$\sin\left(2x-\frac{t}{2}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x+\frac{t}{2}\right)=0.$$

1) $$2x-\frac{t}{2}=\pi n,$$

$$x=\frac{t}{4}+\frac{\pi n}{2}=\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$x+\frac{t}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}-\frac{t}{2}+\pi n=\frac{\pi}{2}-\frac12\arccos\frac{5}{13}+\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}-\frac12\arccos\frac{5}{13}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$