Упр.22.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$\sin x+\cos x+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)$$;

б) $$\cos 2x-\sin 2x-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)$$.

а) Преобразуем сумму:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sin x+\cos x+\sqrt2=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt2=\sqrt2\left(\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right).$$

Используем формулу $$1+\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha$$ при $$\alpha=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}$$:

$$\sqrt2\left(\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right)=\sqrt2\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\right)=2\sqrt2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right).$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем разность:

$$\cos 2x-\sin 2x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt2}{2}\sin 2x\right)=\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos 2x-\sin 2x-\sqrt2=\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt2=\sqrt2\left(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right).$$

Используем формулу $$\cos 2\alpha-1=-2\sin^2\alpha$$ при $$\alpha=x+\frac{\pi}{8}$$:

$$\sqrt2\left(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right)=\sqrt2\left(-2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\right)=-2\sqrt2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right).$$

Тождество доказано.