Упр.22.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Постройте график функции: а) $$y=\sqrt{2}(\sin x+\cos x);$$ б) $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x;$$ в) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x;$$ г) $$y=\sin x-\cos x.$$
Представим каждую функцию в виде $$y=C\sin(x+t)$$.
$$y=\sqrt2(\sin x+\cos x)=\sqrt2\sin x+\sqrt2\cos x.$$
Ищем $$C$$ и $$t$$:
$$C=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt{2+2}=2,$$
$$\cos t=\frac{\sqrt2}{2}, \quad t=\frac{\pi}{4}.$$
Значит,
$$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$
$$y=\sqrt3\sin x+\cos x.$$
Тогда
$$C=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2,$$
$$\cos t=\frac{\sqrt3}{2}, \quad t=\frac{\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$
$$y=\sin x-\sqrt3\cos x.$$
Находим:
$$C=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2,$$
$$\cos t=\frac{1}{2}, \quad t=\frac{\pi}{3}.$$
Значит,
$$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$
$$y=\sin x-\cos x.$$
Тогда
$$C=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,$$
$$\cos t=\frac{\sqrt2}{2}, \quad t=\frac{\pi}{4}.$$
Следовательно,
$$y=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Таким образом, графики всех функций получаются из графика $$y=\sin x$$ растяжением по оси ординат и сдвигом по оси абсцисс.
Ответ
а) $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right);$$
б) $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right);$$
в) $$y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right);$$
г) $$y=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
