Упр.22.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Существуют ли значения $$x$$, при которых выполняется равенство:

• а) $$\sin 5x+\cos 5x=1{,}5$$;
• б) $$3\sin 2x-4\cos 2x=\sqrt{26}$$;
• в) $$\sin 7x-\sqrt{3}\cos 7x=\frac{\pi}{2}$$;
• г) $$5\sin x+12\cos x=\sqrt{170}$$?

Представим левую часть каждого равенства в виде $$A\sin t+B\cos t=C\sin(t+\varphi)$$ или $$C\cos(t+\varphi)$$, где $$C=\sqrt{A^2+B^2}.$$ Тогда значение выражения по модулю не превосходит $$C.$$

Ход решения

1. $$\sin 5x+\cos 5x=1{,}5$$

   $$C=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.$$

   Значит, $$|\sin 5x+\cos 5x|\le \sqrt2.$$ Но $$1{,}5>\sqrt2,$$ поэтому равенство невозможно.

2. $$3\sin 2x-4\cos 2x=\sqrt{26}$$

   $$C=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5.$$

   Значит, $$|3\sin 2x-4\cos 2x|\le 5.$$ Но $$\sqrt{26}>5,$$ поэтому равенство невозможно.

3. $$\sin 7x-\sqrt3\cos 7x=\frac{\pi}{2}$$

   $$C=\sqrt{1^2+(\!-\sqrt3)^2}=\sqrt4=2.$$

   Значит, $$|\sin 7x-\sqrt3\cos 7x|\le 2.$$ Так как $$\frac{\pi}{2}<2,$$ равенство возможно.

4. $$5\sin x+12\cos x=\sqrt{170}$$

   $$C=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13.$$

   Значит, $$|5\sin x+12\cos x|\le 13.$$ Но $$\sqrt{170}>13,$$ поэтому равенство невозможно.

Ответ

а) нет; б) нет; в) да; г) нет.