Упр.22.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$;

б) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$;

в) $$y=\sin x-\cos x$$;

г) $$y=\sqrt{6}\sin x-\sqrt{2}\cos x$$.

а) $$y=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$

Представим функцию в виде $$C\sin(x+t)$$:

$$C=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2$$

Тогда

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$

Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le y\le 2.$$

Ответ: $$-2;\ 2.$$

б) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$

Найдём амплитуду:

$$C=\sqrt{1^2+(\!-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$$

Следовательно,

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

Значит,

$$-2\le y\le 2.$$

Ответ: $$-2;\ 2.$$

в) $$y=\sin x-\cos x$$

Приведём к виду $$C\sin(x+t)$$:

$$C=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$$

Тогда

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Следовательно,

$$-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}.$$

Ответ: $$-\sqrt{2};\ \sqrt{2}.$$

г) $$y=\sqrt{6}\sin x-\sqrt{2}\cos x$$

Найдём амплитуду:

$$C=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\!-\sqrt{2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

Тогда

$$\sqrt{6}\sin x-\sqrt{2}\cos x=2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\cos x\right)=2\sqrt{2}\sin(x-t)$$

Значит,

$$-2\sqrt{2}\le y\le 2\sqrt{2}.$$

Ответ: $$-2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2}.$$