Упр.22.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\sin x+4\cos x$$; б) $$5\cos x-12\sin x$$; в) $$7\sin x-24\cos x$$; г) $$8\cos x+15\sin x$$.

Преобразуем выражения к виду $$C\sin(x+t)$$ или $$C\cos(x+t)$$, используя формулы:

$$A\sin x+B\cos x=C\sin(x+t), \qquad C=\sqrt{A^2+B^2}$$

или

$$A\cos x+B\sin x=C\cos(x-t), \qquad C=\sqrt{A^2+B^2}.$$

Решение

1. $$3\sin x+4\cos x$$

   $$C=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$

   Тогда

   $$3\sin x+4\cos x=5\left(\frac35\sin x+\frac45\cos x\right)=5\sin\left(x+\arccos\frac35\right).$$

2. $$5\cos x-12\sin x$$

   $$C=\sqrt{5^2+12^2}=13.$$

   Следовательно,

   $$5\cos x-12\sin x=13\left(\frac5{13}\cos x-\frac{12}{13}\sin x\right)=13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right).$$

3. $$7\sin x-24\cos x$$

   $$C=\sqrt{7^2+24^2}=25.$$

   Тогда

   $$7\sin x-24\cos x=25\left(\frac7{25}\sin x-\frac{24}{25}\cos x\right)=25\sin\left(x-\arccos\frac7{25}\right).$$

4. $$8\cos x+15\sin x$$

   $$C=\sqrt{8^2+15^2}=17.$$

   Следовательно,

   $$8\cos x+15\sin x=17\left(\frac8{17}\cos x+\frac{15}{17}\sin x\right)=17\cos\left(x-\arccos\frac8{17}\right).$$

Ответ

а) $$5\sin\left(x+\arccos\frac35\right)$$

б) $$13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right)$$

в) $$25\sin\left(x-\arccos\frac7{25}\right)$$

г) $$17\cos\left(x-\arccos\frac8{17}\right)$$