Упр.22.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Преобразуйте данное выражение к виду $$C\sin(x+t)$$ или $$C\cos(x+t)$$:
   а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x$$;
   б) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x$$;
   в) $$\sin x-\cos x$$;
   г) $$2\sin x-\sqrt{12}\cos x$$.

Используем формулы приведения к виду $$C\sin(x+t)$$ или $$C\cos(x+t)$$:

$$A\sin x+B\cos x=C\sin(x+t), \qquad C=\sqrt{A^2+B^2}.$$

а)

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right).$$

Здесь

$$C=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2,$$

поэтому

$$\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin t=\frac12,$$

откуда $$t=\frac{\pi}{6}.$$

Ответ: $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

б)

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right).$$

Здесь

$$C=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2,$$

поэтому

$$\cos t=\frac12, \qquad \sin t=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

откуда $$t=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

в)

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right).$$

Здесь

$$C=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2},$$

поэтому

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \sin t=\frac{1}{\sqrt{2}},$$

откуда $$t=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ: $$\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

г)

$$2\sin x-\sqrt{12}\cos x=4\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right).$$

Здесь

$$C=\sqrt{2^2+(-\sqrt{12})^2}=4,$$

поэтому

$$\cos t=\frac12, \qquad \sin t=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

откуда $$t=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $$4\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$