Упр.22.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу $$(0; 2{,}5)$$:

а) $$\cos 6x+\cos 8x=\cos 10x+\cos 12x$$;

б) $$\sin 2x+5\sin 4x+\sin 6x=0$$.

а) Преобразуем левую и правую части по формулам суммы в произведение:

$$\cos 6x+\cos 8x=\cos 10x+\cos 12x$$
$$2\cos 7x\cos x=2\cos 11x\cos x$$
$$2\cos x(\cos 7x-\cos 11x)=0$$
$$2\cos x\cdot\bigl(-2\sin 9x\sin(-2x)\bigr)=0$$
$$2\cos x\cdot 2\sin 9x\sin 2x=0$$
$$\cos x\sin 9x\sin 2x=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 9x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

На интервале $$\left(0;2{,}5\right)$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{9},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9}.$$

б) Сгруппируем слагаемые:

$$\sin 2x+5\sin 4x+\sin 6x=0$$
$$(\sin 2x+\sin 6x)+5\sin 4x=0$$
$$2\sin 4x\cos 2x+5\sin 4x=0$$
$$\sin 4x(2\cos 2x+5)=0.$$

Следовательно,

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+5=0.$$

Но уравнение $$2\cos 2x+5=0$$ не имеет решений, так как $$\cos 2x=-\frac{5}{2}$$ невозможно.

Значит,

$$\sin 4x=0,\qquad 4x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{4}.$$

На интервале $$\left(0;2{,}5\right)$$ подходят значения при $$n=1,2,3$$:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4}.$$