Упр.22.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$: а) $$\sin 2x+\sin 6x=\cos 2x$$; б) $$2\cos^2 x-1=\sin 3x$$?

а) Преобразуем левую часть по формуле суммы синусов:

$$\sin 2x+\sin 6x=2\sin 4x\cos 2x$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin 4x\cos 2x-\cos 2x=0$$

$$\cos 2x\,(2\sin 4x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 4x-1=0$$

1) $$\cos 2x=0$$, тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем одно значение: $$x=\frac{\pi}{4}$$.

2) $$2\sin 4x-1=0$$, то есть

$$\sin 4x=\frac12$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:

$$4x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$

$$x=\frac{\pi}{24},\ \frac{5\pi}{24}$$

Итак, всего корней три.

б) Используем формулу $$2\cos^2 x-1=\cos 2x$$:

$$\cos 2x=\sin 3x$$

$$\cos 2x-\cos\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=0$$

Применим формулу разности косинусов:

$$-2\sin\left(\frac{2x+\frac{\pi}{2}-3x}{2}\right)\sin\left(\frac{2x-\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}{2}\right)=0$$

$$2\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Следовательно,

$$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

1) $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$, тогда

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем $$x=\frac{\pi}{2}$$.

2) $$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$, тогда

$$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ подходят значения при $$k=0$$ и $$k=1$$:

$$x=\frac{\pi}{10},\qquad x=\frac{\pi}{2}$$

Итак, различных корней два: $$\frac{\pi}{10}$$ и $$\frac{\pi}{2}$$.

Ответ

а) $$3$$ корня; б) $$2$$ корня.