Упр.22.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\tan x+\tan 5x=0$$; б) $$\tan 3x=\cot x$$; в) $$\tan 2x=\tan 4x$$; г) $$\cot\frac{x}{2}+\cot\frac{3x}{2}=0$$.

а) $$\tg x+\tg 5x=0$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=0 \\\\ \frac{\sin x\cos 5x+\cos x\sin 5x}{\cos x\cos 5x}=0 \\\\ \sin(x+5x)=0 \\\\ \sin 6x=0$$

Отсюда

$$6x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$

Но нужно учесть область допустимых значений:

$$\cos x\ne 0,\qquad \cos 5x\ne 0.$$

При $$x=\frac{\pi n}{6}$$ значения, при которых $$\cos x=0$$ или $$\cos 5x=0,$$ не подходят. В итоге получаем

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$\tg 3x=\ctg x$$

$$\ctg x-\tg 3x=0 \\\\ \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=0 \\\\ \frac{\cos x\cos 3x-\sin x\sin 3x}{\sin x\cos 3x}=0 \\\\ \cos(3x+x)=0 \\\\ \cos 4x=0$$

Тогда

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\quad k\in\mathbb Z.$$

Проверка ОДЗ не даёт дополнительных ограничений для найденных значений.

в) $$\tg 2x=\tg 4x$$

$$\tg 2x-\tg 4x=0 \\\\ \frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{\sin 4x}{\cos 4x}=0 \\\\ \frac{\sin 2x\cos 4x-\cos 2x\sin 4x}{\cos 2x\cos 4x}=0 \\\\ \sin(2x-4x)=0 \\\\ \sin 2x=0$$

Отсюда

$$2x=\pi k,\quad x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

При этих значениях равенство $$\tg 2x=\tg 4x$$ выполняется.

г) $$\ctg \frac{x}{2}+\ctg \frac{3x}{2}=0$$

$$\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{3x}{2}}{\sin \frac{3x}{2}}=0 \\\\ \frac{\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}}=0 \\\\ \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right)=0 \\\\ \sin 2x=0$$

Следовательно,

$$2x=\pi k,\quad x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Учитываем ОДЗ:

$$\sin \frac{x}{2}\ne 0,\qquad \sin \frac{3x}{2}\ne 0.$$

Из найденных корней исключаются значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Остаются

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\ k\in\mathbb Z;$$ в) $$x=\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z;$$ г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$