Упр.22.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2\sin^2 x+\cos 5x=1$$; б) $$2\sin^2 3x-1=\cos^2 4x-\sin^2 4x$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$2\sin^2 x+\cos 5x=1$$

$$1-\cos 2x+\cos 5x=1$$

$$\cos 5x-\cos 2x=0$$

По формуле разности косинусов:

$$-2\sin \frac{5x+2x}{2}\sin \frac{5x-2x}{2}=0$$

$$-2\sin \frac{7x}{2}\sin \frac{3x}{2}=0$$

Отсюда

$$\sin \frac{7x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{3x}{2}=0.$$

Тогда

$$\frac{7x}{2}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2\pi n}{7},$$

$$\frac{3x}{2}=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$2\sin^2 3x-1=\cos^2 4x-\sin^2 4x$$

$$1-\cos 6x-1=\cos 8x$$

$$\cos 8x+\cos 6x=0$$

По формуле суммы косинусов:

$$2\cos \frac{8x+6x}{2}\cos \frac{8x-6x}{2}=0$$

$$2\cos 7x\cos x=0$$

Следовательно,

$$\cos 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

Тогда

$$7x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7},$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Так как значения $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ входят в семейство $$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}$$, окончательно получаем:

$$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{2\pi n}{7},\ \frac{2\pi n}{3},\ n\in \mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7},\ n\in \mathbb{Z}.$$