Упр.22.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\cos x+\cos 3x=0$$; б) $$\sin 12x+\sin 4x=0$$; в) $$\cos x=\cos 5x$$; г) $$\sin 3x=\sin 17x$$.

а) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда

$$2\cos 2x\cos x=0,$$

откуда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 12x+\sin 4x=2\sin 8x\cos 4x.$$

Тогда

$$2\sin 8x\cos 4x=0,$$

откуда

$$\sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

1) $$\sin 8x=0 \Rightarrow 8x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{8}.$$

2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

Но все значения из второго семейства входят в первое, поэтому

$$x=\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb Z.$$

в) Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos 5x=0,$$

$$-2\sin\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2}=0,$$

$$-2\sin 3x\sin(-2x)=0,$$

$$2\sin 3x\sin 2x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

1) $$3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

г) Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$\sin 3x-\sin 17x=0,$$

$$2\cos\frac{3x+17x}{2}\sin\frac{3x-17x}{2}=0,$$

$$2\cos 10x\sin(-7x)=0,$$

$$-2\cos 10x\sin 7x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos 10x=0.$$

1) $$7x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{7}.$$

2) $$10x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10}.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi n}{7},\ \frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10},\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi n}{7},\ \frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10},\ n\in\mathbb Z$$