Упр.22.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, если:
   а) $$a=\cos 7x$$, $$b=\cos 2x$$, $$c=\cos 11x$$;
   б) $$a=\sin 3x$$, $$b=\cos x$$, $$c=\sin 5x$$?

Используем свойство арифметической прогрессии: $$2b=a+c.$$

а) $$a=\cos 7x,\quad b=\cos 2x,\quad c=\cos 11x.$$

Тогда

$$2\cos 2x=\cos 7x+\cos 11x.$$

По формуле суммы косинусов:

$$\cos 7x+\cos 11x=2\cos 9x\cos 2x.$$

Получаем

$$2\cos 2x=2\cos 9x\cos 2x,$$

$$2\cos 2x\,(1-\cos 9x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 9x=1.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos 9x=1 \Rightarrow 9x=2\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{9}.$$

б) $$a=\sin 3x,\quad b=\cos x,\quad c=\sin 5x.$$

Тогда

$$2\cos x=\sin 3x+\sin 5x.$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin 3x+\sin 5x=2\sin 4x\cos x.$$

Получаем

$$2\cos x=2\sin 4x\cos x,$$

$$2\cos x\,(1-\sin 4x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=1.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\sin 4x=1 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{2\pi n}{9},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$