Упр.22.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin x+\sin 2x-\sin 3x=0$$; б) $$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\sin x+\sin 2x-\sin 3x=0$$

$$(\sin x-\sin 3x)+\sin 2x=0$$

$$2\cos\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}+\sin 2x=0$$

$$2\cos 2x\sin(-x)+\sin 2x=0$$

$$-2\sin x\cos 2x+2\sin x\cos x=0$$

$$2\sin x(\cos x-\cos 2x)=0$$

$$2\sin x\bigl(\cos x-(2\cos^2 x-1)\bigr)=0$$

$$2\sin x(2\cos^2 x-\cos x-1)=0$$

$$2\sin x(2\cos x+1)(\cos x-1)=0$$

Следовательно,

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0 \quad \text{или} \quad \cos x-1=0.$$

Отсюда:

$$x=\pi k,\quad \cos x=-\frac12,\quad x=2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Решения уравнения $$\cos x=-\frac12$$:

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Так как $$x=2\pi k$$ входит в множество решений $$x=\pi k$$, окончательно получаем:

$$x=\pi k,\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу разности косинусов:

$$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$

$$-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2}=\sin 4x$$

$$-2\sin 4x\sin(-x)=\sin 4x$$

$$2\sin 4x\sin x=\sin 4x$$

$$\sin 4x(2\sin x-1)=0$$

Следовательно,

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0.$$

Тогда

$$4x=\pi k \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi k}{4},$$

или

$$\sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi k}{4},\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi k,\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi k}{4},\ (-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$