Упр.22.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Используем формулы суммы синусов:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Тогда

$$\sin x+\sin y+\sin(x-y)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}+\sin(x-y).$$

Представим последний синус по формуле двойного угла:

$$\sin(x-y)=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Получаем

$$\sin x+\sin y+\sin(x-y)=2\cos\frac{x-y}{2}\left(\sin\frac{x+y}{2}+\sin\frac{x-y}{2}\right).$$

Снова применим формулу суммы синусов:

$$\sin\frac{x+y}{2}+\sin\frac{x-y}{2} =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}.$$

Тогда

$$\sin x+\sin y+\sin(x-y)=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{x-y}{2}.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x} = \frac{(\sin 3x+\sin x)+\sin 2x}{(\cos 3x+\cos x)+\cos 2x}.$$

По формулам суммы:

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x,\qquad \cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда

$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x} = \frac{2\sin 2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tg 2x.$$

Тождество доказано.

Ответ: а) тождество верно; б) $$\dfrac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\tg 2x$$.