Упр.22.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}=\operatorname{tg}a$$;
   б) $$\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\sin(a+b)-\sin(a-b)}=\operatorname{tg}a$$.

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов и косинусов.

а)

$$\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)} = \frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)} = \frac{2\sin\alpha\sin\beta}{2\cos\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\text{а) } \tg\alpha;\qquad \text{б) } \tg\alpha$$