Упр.22.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ$$;

б) $$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ$$.

$$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ$$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности синусов:

$$\sin 87^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ-\sin 59^\circ$$

$$=\bigl(\sin 87^\circ-\sin 93^\circ\bigr)+\bigl(\sin 61^\circ-\sin 59^\circ\bigr)$$

$$=2\cos 90^\circ\sin(-3^\circ)+2\cos 60^\circ\sin 1^\circ$$

$$=0+2\cdot \frac12 \sin 1^\circ=\sin 1^\circ.$$

Значит, равенство верно.

$$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ$$

Сгруппируем и применим формулу суммы и разности косинусов:

$$\bigl(\cos 115^\circ+\cos 65^\circ\bigr)+\bigl(\cos 25^\circ-\cos 35^\circ\bigr)$$

$$=2\cos 90^\circ\cos 25^\circ-2\sin 30^\circ\sin(-5^\circ)$$

$$=0-2\cdot \frac12 \cdot (-\sin 5^\circ)=\sin 5^\circ.$$

Следовательно, равенство верно.

Ответ: а) $$\sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ=\sin 1^\circ$$; б) $$\cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ=\sin 5^\circ$$.