Упр.22.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t$$; б) $$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t$$.

а) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin t+\sin 4t=2\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{3t}{2}$$

$$\sin 2t+\sin 3t=2\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{t}{2}$$

Тогда

$$\sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t =2\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{3t}{2}+2\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{t}{2}$$

$$=2\sin \frac{5t}{2}\left(\cos \frac{3t}{2}+\cos \frac{t}{2}\right)$$

$$=2\sin \frac{5t}{2}\cdot 2\cos t\cos \frac{t}{2} =4\sin \frac{5t}{2}\cos t\cos \frac{t}{2}.$$

б) Сгруппируем слагаемые:

$$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t =(\cos 2t+\cos 8t)-(\cos 4t+\cos 6t)$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos 2t+\cos 8t=2\cos 5t\cos 3t, \qquad \cos 4t+\cos 6t=2\cos 5t\cos t$$

Тогда

$$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t =2\cos 5t(\cos 3t-\cos t)$$

$$=2\cos 5t\cdot \left(-2\sin 2t\sin t\right) =-4\cos 5t\sin 2t\sin t.$$

Ответ: а) $$4\sin \frac{5t}{2}\cos t\cos \frac{t}{2}$$; б) $$-4\cos 5t\sin 2t\sin t$$.