Упр.22.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x$$; б) $$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x$$.

а) Преобразуем сумму в произведение:

$$\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x=(\sin 5x+\sin 7x)+2\sin 6x$$

$$=2\sin 6x\cos\frac{5x-7x}{2}+2\sin 6x=2\sin 6x\cos(-x)+2\sin 6x$$

$$=2\sin 6x\cos x+2\sin 6x=2\sin 6x(\cos x+1)$$

$$=2\sin 6x\cdot 2\cos^2\frac{x}{2}=4\sin 6x\cos^2\frac{x}{2}$$

Ответ: $$4\sin 6x\cos^2\frac{x}{2}$$

б) Аналогично:

$$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x=2\cos x+(\cos 2x+\cos 4x)$$

$$=2\cos x+2\cos\frac{2x+4x}{2}\cos\frac{2x-4x}{2}=2\cos x+2\cos 3x\cos(-x)$$

$$=2\cos x+2\cos 3x\cos x=2\cos x(1+\cos 3x)$$

$$=2\cos x\cdot 2\cos^2\frac{3x}{2}=4\cos x\cos^2\frac{3x}{2}$$

Ответ: $$4\cos x\cos^2\frac{3x}{2}$$