Упр.21.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Воспользуемся формулой тангенса двойного аргумента:

$$\tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}.$$

а) Пусть $$x=a+b.$$ Тогда

$$\frac{2\tg(a+b)}{1-\tg^2(a+b)}=\tg 2(a+b)=\tg(2a+2b).$$

Следовательно,

$$\tg(2a+2b)=\frac{2\tg(a+b)}{1-\tg^2(a+b)}.$$

Тождество доказано.

б) Пусть $$x=\frac a2+\frac b2.$$ Тогда

$$\frac{2\tg\left(\frac a2+\frac b2\right)}{1-\tg^2\left(\frac a2+\frac b2\right)}=\tg 2\left(\frac a2+\frac b2\right)=\tg(a+b).$$

Следовательно,

$$\tg(a+b)=\frac{2\tg\left(\frac a2+\frac b2\right)}{1-\tg^2\left(\frac a2+\frac b2\right)}.$$

Тождество доказано.