Упр.21.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   а) $$\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin x$$;
   
   б) $$\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4}=\cos\frac{x}{2}$$;
   
   в) $$\sin 2x\cdot\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$$;
   
   г) $$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x$$.

Используем формулы двойного аргумента:

$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha,$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha.$$

Ход решения

1. $$\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac12\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac12\sin\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=\frac12\sin x.$$

2. $$\cos^2 \frac{x}{4}-\sin^2 \frac{x}{4}=\cos\left(2\cdot \frac{x}{4}\right)=\cos \frac{x}{2}.$$

3. $$\sin 2x\cdot \cos 2x=\frac12\cdot 2\sin 2x\cos 2x=\frac12\sin(2\cdot 2x)=\frac12\sin 4x.$$

4. $$\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=\cos\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=\cos x.$$

Ответ

1. $$\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac12\sin x$$
2. $$\cos^2 \frac{x}{4}-\sin^2 \frac{x}{4}=\cos \frac{x}{2}$$
3. $$\sin 2x\cdot \cos 2x=\frac12\sin 4x$$
4. $$\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=\cos x$$