Упр.21.51 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x$$;

б) $$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7$$.

а) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и преобразуем уравнение:

$$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x$$
$$2\sin x\cos x+2\sin x=2-2\cos x$$
$$2\sin x\cos x+2\sin x+2\cos x=2$$

Положим $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$
поэтому
$$2\sin x\cos x=y^2-1.$$

Получаем:

$$y^2-1+2y=2$$
$$y^2+2y-3=0$$
$$(y+3)(y-1)=0$$
$$y=-3 \text{ или } y=1.$$

Значение $$y=-3$$ невозможно, так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2]$$. Значит,

$$\sin x+\cos x=1.$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$
или
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=2\pi n$$
или
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7$$
$$8\sin x\cos x+8(\sin x-\cos x)=7.$$

Положим $$y=\sin x-\cos x$$. Тогда

$$y^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-2\sin x\cos x,$$
значит
$$2\sin x\cos x=\frac{1-y^2}{2}.$$

Подставим в уравнение:

$$8\cdot \frac{1-y^2}{2}+8y=7$$
$$4-4y^2+8y=7$$
$$4y^2-8y+3=0$$
$$(2y-1)(2y-3)=0.$$

Получаем:

$$y=\frac12 \text{ или } y=\frac32.$$

Но $$\sin x-\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2]$$, поэтому $$y=\frac32$$ не подходит. Значит,

$$\sin x-\cos x=\frac12.$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12,$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

То есть

$$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$