Упр.21.50 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- а) $$\cos\frac{1}{x^2-\pi^2}\cdot\sin 2x=8\sin x\cdot\cos x$$;
б) $$16\sin x\cdot\cos x+\sin 2x\cdot\sin\frac{1}{2}=0$$.
а) $$\cos \frac{1}{x^2-\pi^2}\cdot \sin 2x=8\sin x\cdot \cos x.$$
Используем формулу $$8\sin x\cos x=4\sin 2x.$$ Тогда
$$\cos \frac{1}{x^2-\pi^2}\cdot \sin 2x=4\sin 2x,$$
$$\sin 2x\left(\cos \frac{1}{x^2-\pi^2}-4\right)=0.$$
Отсюда
$$\sin 2x=0$$
или
$$\cos \frac{1}{x^2-\pi^2}-4=0.$$
Так как $$\cos t\in[-1;1],$$ уравнение $$\cos \frac{1}{x^2-\pi^2}=4$$ решений не имеет.
Из $$\sin 2x=0$$ получаем
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Проверим область определения: $$x^2-\pi^2\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm \pi.$$
При $$x=\frac{\pi n}{2}$$ исключаем значения $$n=\pm 2.$$
б) $$16\sin x\cos x+\sin 2x\cdot \sin \frac{1}{x}=0.$$
Так как $$16\sin x\cos x=8\sin 2x,$$ имеем
$$8\sin 2x+\sin 2x\cdot \sin \frac{1}{x}=0,$$
$$\sin 2x\left(8+\sin \frac{1}{x}\right)=0.$$
Отсюда
$$\sin 2x=0$$
или
$$8+\sin \frac{1}{x}=0.$$
Второе уравнение не имеет решений, так как $$\sin \frac{1}{x}\in[-1;1].$$
Из $$\sin 2x=0$$ получаем
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$
С учётом области определения $$x\ne 0,$$ значит $$n\ne 0.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z},\ n\ne \pm 2.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z},\ n\ne 0.$$
