Упр.21.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}}$$; б) $$\frac{\operatorname{tg}75}{1-\operatorname{tg}^2 75}$$.

Воспользуемся формулой

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$

Тогда

$$\frac{\tg \frac{\pi}{8}}{1-\tg^2 \frac{\pi}{8}}=\frac12 \cdot \frac{2\tg \frac{\pi}{8}}{1-\tg^2 \frac{\pi}{8}}=\frac12 \tg \frac{\pi}{4}=\frac12 \cdot 1=\frac12.$$

Аналогично

$$\frac{\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=\frac12 \cdot \frac{2\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=\frac12 \tg 150^\circ.$$

Так как $$\tg 150^\circ=\tg(180^\circ-30^\circ)=-\tg 30^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}},$$ то

$$\frac12 \tg 150^\circ=\frac12 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$-\frac{\sqrt{3}}{6}$$.