Упр.21.49 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. 21.49. Используя замену $$u=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$$ и тождества из упражнения 21.48, решите уравнение:
   а) $$\sin x+7\cos x=5$$;
   б) $$5\sin x+10\cos x+2=0$$.

Положим $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}.$$

а)

$$\sin x+7\cos x=5$$

Подставим формулы:

$$\frac{2u}{1+u^2}+7\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$2u+7(1-u^2)=5(1+u^2).$$

$$2u+7-7u^2=5+5u^2.$$

$$12u^2-2u-2=0.$$

$$6u^2-u-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25,$$

$$u_{1,2}=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Отсюда

$$u_1=\frac12,\qquad u_2=-\frac13.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg \frac{x}{2}=\frac12 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg \frac12+\pi k \Rightarrow x=2\arctg \frac12+2\pi k,$$

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac13 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\arctg \frac13+\pi k \Rightarrow x=-2\arctg \frac13+2\pi k.$$

б)

$$5\sin x+10\cos x+2=0$$

Подставим формулы:

$$5\cdot \frac{2u}{1+u^2}+10\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}+2=0.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$10u+10(1-u^2)+2(1+u^2)=0.$$

$$10u+10-10u^2+2+2u^2=0.$$

$$4u^2-5u-6=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 4\cdot(-6)=121,$$

$$u_{1,2}=\frac{5\pm 11}{8}.$$

Отсюда

$$u_1=2,\qquad u_2=-\frac34.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg \frac{x}{2}=2 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg 2+\pi k \Rightarrow x=2\arctg 2+2\pi k,$$

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac34 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\arctg \frac34+\pi k \Rightarrow x=-2\arctg \frac34+2\pi k.$$

Ответ

а) $$x=2\arctg \frac12+2\pi k,\; x=-2\arctg \frac13+2\pi k,\; k\in \mathbb{Z}.$$

б) $$x=2\arctg 2+2\pi k,\; x=-2\arctg \frac34+2\pi k,\; k\in \mathbb{Z}.$$