Упр.21.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: а) $$\sin x=\frac{2\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$$; б) $$\cos x=\frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}$$.

Воспользуемся формулами двойного аргумента и формулами понижения степени.

а)

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$$
$$2\operatorname{tg}\frac{x}{2}=2\cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$$
Тогда
$$\frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2\cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1+\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}} = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = \sin x.$$

Тождество доказано.

б)

$$\cos x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}$$
$$\operatorname{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$$
Преобразуем правую часть:
$$\frac{1-\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1+\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}} = \cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2} = \cos x.$$

Тождество доказано.