Упр.21.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $$|x| < 4$$:
   а) $$4\sin^2 x + \sin^2 2x = 3$$;
   б) $$4\cos^2 2x + 8\cos^2 x = 7$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3$$

$$4\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=3$$

$$4\sin^2 x\bigl(1+\cos^2 x\bigr)=3$$

Используем $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$4(1-\cos^2 x)\bigl(1+\cos^2 x\bigr)=3$$

$$4(1-\cos^4 x)=3$$

$$4\cos^4 x=1$$

$$\cos^2 x=\frac12$$

Тогда

$$\cos x=\pm \frac{\sqrt2}{2}$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

При $$|x|<4$$ получаем корни:

$$x=-\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$4(2\cos^2 x-1)^2+8\cos^2 x=7$$

$$16\cos^4 x-8\cos^2 x-3=0$$

Сделаем замену $$t=\cos^2 x$$. Тогда

$$16t^2-8t-3=0$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 16\cdot(-3)=256$$

$$t=\frac{8\pm 16}{32}$$

Получаем:

$$t_1=\frac34,\quad t_2=-\frac14.$$

Значение $$t_2$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0$$. Значит,

$$\cos^2 x=\frac34,\qquad \cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

При $$|x|<4$$ получаем корни:

$$x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$-\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}$$;

б) $$-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$.