Упр.21.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько корней имеет уравнение $$2\cos^2\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{9}=1$$ на отрезке $$[-2\pi;2\pi]$$? Найдите эти корни.

Используем формулу $$2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x.$$ Тогда уравнение

$$2\cos^2\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{9}=1$$

преобразуется к виду

$$1+\cos x-\cos\frac{\pi}{9}=1,$$

откуда

$$\cos x=\cos\frac{\pi}{9}.$$

Общее решение:

$$x=\pm \frac{\pi}{9}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Найдём корни на отрезке $$[-2\pi;2\pi].$$

Подходящие значения получаются при $$k=-1,0,1$$:

$$x=-\frac{\pi}{9}-2\pi=-\frac{19\pi}{9},$$

$$x=-\frac{\pi}{9},$$

$$x=\frac{\pi}{9},$$

$$x=\frac{\pi}{9}+2\pi=\frac{19\pi}{9}.$$

Все эти числа принадлежат отрезку $$[-2\pi;2\pi].$$

Ответ: $$-\frac{19\pi}{9},\ -\frac{\pi}{9},\ \frac{\pi}{9},\ \frac{19\pi}{9}.$$