Упр.21.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

а) $$4\sin x+\sin 2x=0,\quad x\in[0;2\pi];$$

б) $$\cos^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0,\quad x\in\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right].$$

а) Преобразуем уравнение:

$$4\sin x+\sin 2x=0$$

$$4\sin x+2\sin x\cos x=0$$

$$2\sin x(2+\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2+\cos x=0.$$

Во втором случае получаем $$\cos x=-2,$$ что невозможно, так как $$-1\le \cos x\le 1.$$

Значит, остаётся только

$$\sin x=0.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ это даёт:

$$x=0,\ \pi,\ 2\pi.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\cos^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0$$

Используем формулу $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$:

$$\cos\left(2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0$$

$$\cos\left(6x+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Так как $$\cos\left(u+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin u,$$ получаем:

$$-\sin 6x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\sin 6x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$6x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad 6x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

Теперь найдём корни на отрезке $$\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right].$$

Подходит только

$$x=\frac{7\pi}{9}.$$

Ответ: а) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; б) $$\frac{7\pi}{9}$$.