Упр.21.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$3\sin 2x+\cos 2x=1$$; б) $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$.

а) $$3\sin 2x+\cos 2x=1$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$3\cdot 2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=1$$

$$6\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x$$

$$6\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$

$$2\sin x(3\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0$$

или

$$3\cos x-\sin x=0$$

В первом случае

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Во втором случае

$$\tan x=3,$$

значит

$$x=\arctan 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$

Используем формулы $$\cos 4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x$$ и $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+2\cdot 2\sin 2x\cos 2x=1$$

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=\sin^2 2x+\cos^2 2x$$

$$-2\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=0$$

$$2\sin 2x(2\cos 2x-\sin 2x)=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0$$

или

$$2\cos 2x-\sin 2x=0.$$

В первом случае

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Во втором случае

$$\tan 2x=2,$$

значит

$$2x=\arctan 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac12\arctan 2+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=\arctan 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\frac12\arctan 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$