Упр.21.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=f(x)$$, если:
а) $$f(x)=2\cos 2x+\sin^2 x$$;
б) $$f(x)=2\sin^2 3x-\cos 6x$$.

а) $$f(x)=2\cos 2x+\sin^2 x$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$\begin{aligned} f(x)&=2(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin^2 x \\ &=2\cos^2 x-\sin^2 x \\ &=2(1-\sin^2 x)-\sin^2 x \\ &=2-3\sin^2 x. \end{aligned}$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1$$, то

$$-3\le -3\sin^2 x\le 0,$$

следовательно,

$$-1\le 2-3\sin^2 x\le 2.$$

Значит, $$f_{\min}=-1,$$ $$f_{\max}=2.$$

б) $$f(x)=2\sin^2 3x-\cos 6x$$

Используем формулу $$\cos 6x=\cos^2 3x-\sin^2 3x$$:

$$\begin{aligned} f(x)&=2\sin^2 3x-(\cos^2 3x-\sin^2 3x) \\ &=3\sin^2 3x-\cos^2 3x \\ &=3\sin^2 3x-(1-\sin^2 3x) \\ &=4\sin^2 3x-1. \end{aligned}$$

Так как $$0\le \sin^2 3x\le 1$$, то

$$0\le 4\sin^2 3x\le 4,$$

следовательно,

$$-1\le 4\sin^2 3x-1\le 3.$$

Значит, $$f_{\min}=-1,$$ $$f_{\max}=3.$$

Ответ: а) $$-1; 2$$; б) $$-1; 3$$.