Упр.21.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите: а) $$\cos\frac{\pi}{33}\cdot\cos\frac{2\pi}{33}\cdot\cos\frac{4\pi}{33}\cdot\cos\frac{8\pi}{33}\cdot\cos\frac{16\pi}{33}$$; б) $$\cos\frac{\pi}{7}\cdot\cos\frac{4\pi}{7}\cdot\cos\frac{5\pi}{7}$$.

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и последовательно преобразуем произведение.

а)

$$\cos \frac{\pi}{33}\cdot \cos \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
$$= \frac{1}{\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{\pi}{33}\cos \frac{\pi}{33}\cdot \cos \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
$$= \frac{1}{2\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
$$= \frac{1}{4\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
$$= \frac{1}{8\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
$$= \frac{1}{16\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{16\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33} = \frac{1}{32\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{32\pi}{33}$$
$$= \frac{1}{32\sin \frac{\pi}{33}}\sin\left(\pi-\frac{\pi}{33}\right) = \frac{1}{32\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{\pi}{33} = \frac{1}{32}.$$

б)

$$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7} = \cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \left(-\cos \frac{2\pi}{7}\right)$$
так как $$\cos \frac{5\pi}{7}=-\cos \frac{2\pi}{7}.$$ Тогда
$$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7} = -\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{2\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}.$$
Из известного тождества
$$\cos x\cos 2x\cos 4x=\frac{1}{4}\cos 7x$$
при $$x=\frac{\pi}{7}$$ получаем
$$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{2\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{1}{4}\cos \pi = -\frac{1}{4}.$$
Значит,
$$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7} = -\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{32}$$; б) $$\frac{1}{4}$$.