Упр.21.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right)$$

б) $$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right)$$

Воспользуемся формулами

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

а)

$$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1+\cos 2t}{2}-\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2}$$

$$=\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)\right).$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)=\sin 2t,$$ то

$$\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\sin 2t\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right).$$

Следовательно,

$$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right).$$

б)

$$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1-\cos 2t}{2}-\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2}$$

$$=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)-\cos 2t\right).$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)=\sin 2t,$$ получаем

$$\frac{1}{2}\left(\sin 2t-\cos 2t\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Значит,

$$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ: а) $$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right);$$ б) $$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).$$