Упр.21.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: а) $$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\operatorname{tg} t$$; б) $$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$$.

Воспользуемся формулами

$$\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t,$$

$$\sin 2t=2\sin t\cos t,$$

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

Решение

а)

$$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \frac{1-(\cos^2 t-\sin^2 t)+2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+(\cos^2 t-\sin^2 t)}$$

$$= \frac{\sin^2 t+\sin^2 t+2\sin t\cos t}{\cos^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t} = \frac{2\sin t(\sin t+\cos t)}{2\cos t(\sin t+\cos t)} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tg t.$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \frac{1+(\cos^2 t-\sin^2 t)-2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+(\cos^2 t-\sin^2 t)}$$

$$= \frac{\cos^2 t+\cos^2 t-2\sin t\cos t}{\cos^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t} = \frac{2\cos t(\cos t-\sin t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)} = \frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}.$$

Теперь используем формулу

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{1-\tg t}{1+\tg t} =\frac{1-\frac{\sin t}{\cos t}}{1+\frac{\sin t}{\cos t}} =\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}.$$

Следовательно,

$$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t} = \tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\tg t.$$
б) $$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$