Упр.21.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{4}$$; б) $$\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1$$; в) $$\sin^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}$$; г) $$\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{4}$$.
а) $$\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac34$$
Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:
$$\frac{1-\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)}{2}=\frac34$$
$$1-\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac32$$
$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12$$
Тогда
$$4x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
1) $$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$, откуда
$$4x=\pi+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
2) $$4x-\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$, откуда
$$4x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1$$
Так как $$\cos^2 t=1$$ только при $$\cos t=\pm1$$, получаем:
$$x+\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$
Ответ: $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$\sin^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac12$$
Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:
$$\frac{1-\cos(2x+\pi)}{2}=\frac12$$
$$1-\cos(2x+\pi)=1$$
$$\cos(2x+\pi)=0$$
Следовательно,
$$2x+\pi=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$2x=-\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
г) $$\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac34$$
Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:
$$\frac{1+\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac34$$
$$1+\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac32$$
$$\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac12$$
Так как $$\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 6x$$, получаем:
$$\sin 6x=\frac12$$
Тогда
$$6x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{6}$$
Ответ: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{6},\; n\in\mathbb Z.$$
